Question

已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，f（x）=

x2-2x-3  (x＞0) a             (x=0) bx2+cx+d(x＜0)

．
（1）分别求a，b，c，d的值；  
（2）画出f（x）的简图并写出其单调区间．

Answer 1

分析：（1）因为奇函数f（0）=0，得出a的值，再根据函数当x＞0的表达式结合函数为奇函数，可求出当x＜0的f（x）表达式，最后比较系数可得得b、c、d的值．
（2）由（1）得到的函数表达式，结合二次函数的图象与性质，不难分别作出当x＜0和x＞0时函数图象对应的抛物线，最后根据所得图象可给出函数f（x）的单调区间．

解答：解：y=f（x）是定义在R上的奇函数，则f（0）=0，得a=0，
设x＜0时，则-x＞0，得f（-x）=（-x）²-2（-x）-3=x²+2x-3
∵f（x）为R上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x），得x＜0时f（x）=-x²-2x+3
结合题意，比较系数得b=-1，c=-2，d=3．-----------（6分）
（2）由（1）知，函数表达式为f（x）=

x2-2x-3  (x＞0) a             (x=0) -x2-2x+3(x＜0)

由此可得，当x＜0时函数的图象是开口向下的抛物线，
关于直线x=-1对称，
当x＞0时，函数的图象是开口向上的抛物线，
关于直线x=1对称，
而f（0）=0说明原点在函数图象上，因此函数的图象如右图------------（10分）
由图象可得：f（x）的单调减区间为（-1，1），单调增区间为（-∞，-1），（1，+∞）---------（12分）

点评：本题以分段函数为例，求函数的表达式并作函数图象，求函数的单调区间，着重考查了基本初等函数的单调性与奇偶性等知识，考查了函数图象的作法，属于基础题．