Question

8．已知f′（x）为函数f（x）的导函数，且$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-f（0）+f'（1）{e^{x-1}}$，若$g（x）=f（x）-\frac{1}{2}{x^2}+x$，则方程$g（\frac{x^2}{a}-x）-x=0$有且仅有一个根时，a的取值范围是（　　）

• A． [1，+∞）
• B． （-∞，1]
• C． （0，1]
• D． （-∞，0）∪{1}

Answer 1

分析 求导，令x=1，即可求得f（0），当x=0，代入f（x），即可求得f′（1），求得f（x）的解析式，由题意可知：由函数y₁=$\frac{{x}^{2}}{a}$与函数y₂=x+lnx图象可得，方程有且只有一个根时，则a的取值范围是a＜0或a=1．

解答 解：由$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-f（0）+f'（1）{e^{x-1}}$，求导f′（x）=x-f（0）+f′（1）e^x-1，
故f′（1）=x-f（0）+f′（1），则f（0）=1，
由f（0）=f′（1）e^-1=1，则f′（1）=e，
故f（x）=$\frac{1}{2}$x²-x+e^x，f′（x）=x-1+e^x，
∴g（x）=$\frac{1}{2}$x²-x+e^x-$\frac{1}{2}$x²+x=e^x，故方程$g（\frac{x^2}{a}-x）-x=0$，${e}^{\frac{{x}^{2}}{a}-x}$=x，
两边取对数可得$\frac{{x}^{2}}{a}$=x+lnx，由函数y₁=$\frac{{x}^{2}}{a}$与函数y₂=x+lnx图象可得，方程有且只有一个根时，则a的取值范围是a＜0或a=1，
当a＞1a时无交点，0＜a＜1时有两个交点．
故a的取值范围（-∞，0）∪{1}，
故选D．

点评 本题考查导数的综合应用，考查函数根的个数的判断，考查数形结合思想，属于中档题．