Question

3．若函数f（x）为奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，又f（-3）=0，则不等式x[f（-x）-f（x）]＜0的解集为（　　）

• A． （-∞，-3）∪（0，3）
• B． （-2，0）∪（3，+∞）
• C． （-3，3）
• D． （-∞，-3）∪（3，+∞）

Answer 1

分析 根据题意，由函数f（x）为奇函数分析可得x[f（-x）-f（x）]＜0?xf（x）＞0，结合函数的单调性以及f（-3）=0分2种情况讨论：①、当x∈（-∞，-3）∪（0，3）上②、当x∈（-3，0）∪（3，+∞）上，分别求出每种情况下x的取值范围，综合即可得答案．

解答 解：若函数f（x）为奇函数，则f（-x）=-f（x），
则x[f（-x）-f（x）]＜0⇒x[-2f（x）]＜0⇒xf（x）＞0，
若奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，则函数f（x）在（-∞，0）上也为增函数，
又由f（-3）=0，则f（3）=0；
分2种情况讨论：
①、当x∈（-∞，-3）∪（0，3）上时，f（x）＜0，
若xf（x）＞0，必有x＜0，
此时x[f（-x）-f（x）]＜0的解集为（-∞，-3），
②、当x∈（-3，0）∪（3，+∞）上时，f（x）＞0，
若xf（x）＞0，必有x＞0，
此时x[f（-x）-f（x）]＜0的解集为（3，+∞），
综合可得：不等式x[（f（x）-f（-x）]＜0的解集为（-∞，-3）∪（3，+∞）；
故选：D．

点评 本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，其中奇函数在对称区间上单调性相同，是解答本题的关键．