Question

三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面边长与侧棱长都相等，A₁在底面ABC上的射影O为△ABC的中心，则异面直线AB₁与BC₁所成角的余弦值为

 

．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：先确定∠A₁AB=60°，作延长A₁B₁到D₁使得B1D1

∥ .

.

AB，则AB₁∥BD₁，所以∠C₁BD₁为异面直线AB₁与BC₁所成角，求出BC₁，由余弦定理可得异面直线AB₁与BC₁所成角的余弦值．

解答： 解：设边长为1，cos∠A1AB=cos∠A1AOcos∠OAB=

3

3

×

3

2

=

1

2

，
所以∠A₁AB=60°
作延长A₁B₁到D₁使得B1D1

∥ .

.

AB，则AB₁∥BD₁，所以∠C₁BD₁为异面直线AB₁与BC₁所成角．
由余弦定理可得AB1=BD1=

3

，C1D1=

3

因为BC⊥AO，所以BC⊥AA₁（三垂线定理），
又因为BB₁∥AA₁，所以四边形BB₁C₁C为正方形，则BC1=

2

．
由余弦定理可得cos∠C1BD1=

BC12+BD12-C1D12

2BC1•BD1

=

3+2-3

2 3 • 2

=

6

6

．
故答案为：

6

6

．

点评：本题考查了几何体的结构特征及线线角的定义，考查了转化思想和空间想象能力，属于中档题．