Question

19．在直角坐标系xOy中，长为$\sqrt{2}$+1的线段的两端点C，D分别在x轴、y轴上滑动，$\overrightarrow{CP}$=$\sqrt{2}$$\overrightarrow{PD}$．记点P的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）直线l与曲线E交于A，B两点，线段AB的中点为M（${\frac{1}{2}$，1），求直线l方程．

Answer 1

分析 （1）确定坐标之间的关系，利用|$\overrightarrow{CD}$|=$\sqrt{2}$+1，求曲线E的方程；
（2）利用“点差法”可求得直线AB的斜率，再利用点斜式即可求得直线l的方程．

解答 解：（1）设C（m，0），D（0，n），P（x，y）．
由$\overrightarrow{CP}$=$\sqrt{2}$$\overrightarrow{PD}$，得（x-m，y）=$\sqrt{2}$（-x，n-y），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-m=-\sqrt{2}x}\\{y=\sqrt{2}（n-y）}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{m=（\sqrt{2}+1）x}\\{n=\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}y}\end{array}\right.$
由|$\overrightarrow{CD}$|=$\sqrt{2}$+1，得m²+n²=（$\sqrt{2}$+1）²，
∴（$\sqrt{2}$+1）²x²+$\frac{（\sqrt{2}+1）^{2}}{2}$y²=（$\sqrt{2}$+1）²，整理，得曲线E的方程为x²+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（${\frac{1}{2}$，1），是线段AB的中点，
则x₁+x₂=1，y₁+y₂=2；
依题意，A，B代入方程，相减得：2（x₁+x₂）（x₁-x₂）+（y₁+y₂）（y₂-y₁）=0，
由题意知，直线l的斜率存在，
∴k_AB=-1，
∴直线l的方程为：y-1=-（x-$\frac{1}{2}$），
整理得：2x+2y-3=0．
故直线l的方程为2x+2y-3=0

点评 本题考查椭圆的方程与直线的点斜式方程，求直线l的斜率是关键，也是难点，着重考查点差法，属于中档题．