Question

8．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E，F分别为BC，A₁D₁的中点．
（1）求证：平面A₁B₁E∥平面CDF；
（2）求平面DEB₁F与平面ADD₁A₁所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取AD的中点M，连EM、A₁M，推导出A₁B₁EM是平行四边形，从而B₁E∥FD，由此能证明平面A₁B₁E∥平面CDF．
（2）以C点为空间直角坐标系的坐标原点，CD、CB、CC₁分别为x，y，z轴建系，利用向量法能求出平面DEB₁F与平面ADD₁A₁所成锐二面角的余弦值．

解答 证明：（1）在正方体中，有A₁B₁∥DC，
又E、F分别为BC、A₁D₁的中点，
取AD的中点M，连EM、A₁M，有A₁M∥FD，
∴EM∥A₁B₁，且EM=A₁B₁，即A₁B₁EM是平行四边形，
故有B₁E∥A₁M，
所以B₁E∥FD，∴平面A₁B₁E∥平面CDF．
解：（2）以C点为空间直角坐标系的坐标原点，CD、CB、CC₁分别为x，y，z轴建系如图，
设AB=2，则E（0，1，0），D（2，0，0），F（2，1，2），
故$\overrightarrow{DE}$=（-2，1，0），$\overrightarrow{DF}$=（0，1，2），
平面ADD₁A₁的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
不妨设平面DEB₁F的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=-2x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DF}=y+2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，2，-1），
设平面DEB₁F与平面ADD₁A₁所成锐二面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{1•\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{6}$．
∴平面DEB₁F与平面ADD₁A₁所成锐二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

点评 本题考查面面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．