Question

16．如图，平面ABCD⊥平面ADEF，其中ABCD为矩形，ADEF为梯形，AF∥DE，AF⊥FE，AF=AD=2，DE=1．
（1）求异面直线EF与BC所成角的大小；
（2）若二面角A-BF-D的平面角的余弦值为$\frac{1}{3}$，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）延长AD，FE交于Q，根据异面直线夹角的定义，根据BC∥AD，得∠AQF是异面直线EF与BC所成的角，解△AQF可得答案．
（2）取AF的中点G，过G作GH⊥BF，垂足为H，连接DH，可证得∠DHG为二面角A-BF-D的平面角，解三角形DGH可得答案．

解答 解：（1）延长AD，FE交于Q．
∵ABCD是矩形，
∴BC∥AD，
∴∠AQF是异面直线EF与BC所成的角．
在梯形ADEF中，由DE∥AF，AF⊥FE，AF=2，DE=1得
∠AQF=30°．
即异面直线EF与BC所成角为30°…（7分）
（2）设AB=x．取AF的中点G．由题意得DG⊥AF．
∵平面ABCD⊥平面ADEF，AB⊥AD，
∴AB⊥平面ADEF，
∴AB⊥DG．
∴DG⊥平面ABF．
过G作GH⊥BF，垂足为H，连接DH，则DH⊥BF，
∴∠DHG为二面角A-BF-D的平面角．
在直角△AGD中，AD=2，AG=1，得DG=$\sqrt{3}$．
在直角△BAF中，由$\frac{AB}{BF}$sin∠AFB=$\frac{GH}{FG}$，得GH=$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$．
在直角△DGH中，DG=$\sqrt{3}$，GH=$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$．得
DH=2$\sqrt{\frac{{x}^{2}+3}{{x}^{2}+4}}$．
∵cos∠DHG=$\frac{GH}{DH}$=$\frac{1}{3}$，得x=$\frac{2\sqrt{15}}{5}$，
∴AB=$\frac{2\sqrt{15}}{5}$．…（15分）

点评 本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，二面角的平面角及求法，其中（1）的关键是利用平移求出异面直线夹角的几何角，（2）中几何的关键是找出二面角的平面角．