Question

f(x)=

-x2+ax， x≤1 ax-1，  x＞1

若?x₁，x₂∈R，x₁≠x₂，使得f（x₁）=f（x₂）成立，则实数a的取值范围是

（-∞，2）

．

Answer 1

分析：若?x₁，x₂∈R，x₁≠x₂，使得f（x₁）=f（x₂）成立，则f（x）不是单调函数，结合二次函数和一次函数的图象和性质，分类讨论不同情况下函数的单调性，综合讨论结果可得答案．

解答：解：由题意得，即在定义域内，f（x）不是单调的．
分情况讨论：
（1）若x≤1时，f（x）=-x²+ax不是单调的，
即对称轴在x=

a

2

满足

a

2

＜1，
解得：a＜2
（2）x≤1时，f（x）是单调的，
此时a≥2，f（x）为单调递增．
最大值为f（1）=a-1
故当x＞1时，f（x）=ax-1为单调递增，最小值为f（1）=a-1，
因此f（x）在R上单调增，不符条件．
综合得：a＜2
故实数a的取值范围是（-∞，2）
故答案为：（-∞，2）

点评：本题考查的知识点是函数的性质及应用，其中根据已知分析出函数f（x）不是单调函数，是解答的关键．