Question

15．已知函数f（x）=e^x，x∈R．
（1）设x＞0，讨论曲线y=$\frac{f（x）}{x^2}$与直线y=m公共点的个数；
（2）设函数h（x）满足x²h′（x）+2xh（x）=$\frac{f（x）}{x}$，h（2）=$\frac{f（2）}{8}$，试比较h（e）与$\frac{7}{8}$的大小．（e²=7.389）

Answer 1

分析 （1）问题转化为方程f（x）=mx²根的个数，由f（x）=mx²⇒m=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$，令v（x）=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$，根据函数的单调性得到m的范围，通过讨论m的范围，求出公共点的个数即可；
（2）令F（x）=x²h（x），令G（x）=e^x-2F（x），求出函数的导数，根据函数的单调性比较即可．

解答 解：（1）当x＞0，m＞0时，曲线y=f（x）与曲线y=mx²（m＞0）的公共点个数
即方程f（x）=mx²根的个数．
由f（x）=mx²⇒m=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$，令v（x）=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$⇒v′（x）=$\frac{{xe}^{x}（x-2）}{{x}^{4}}$，
则v（x）在（0，2）上单调递减，这时v（x）∈（v（2），+∞）；
v（x）在（2，+∞）上单调递增，这时v（x）∈（v（2），+∞），v（2）=$\frac{{e}^{2}}{4}$．
v（2）是y=v（x）的极小值，也是最小值．（5分）
所以对曲线y=f（x）与曲线y=mx²（m＞0）公共点的个数，讨论如下：
当m∈（0，$\frac{{e}^{2}}{4}$）时，有0个公共点；
当m=$\frac{e2}{4}$时，有1个公共点；
当m∈（$\frac{{e}^{2}}{4}$，+∞）时有2个公共点；（8分）
（2）令F（x）=x²h（x），则F′（x）=x²h′（x）+2xh=$\frac{ex}{x}$，
所以h=$\frac{F（x）}{x2}$，故h′=$\frac{F′（x）x2-2xF（x）}{x4}$=$\frac{F′（x）x-2F（x）}{x3}$=$\frac{ex-2F（x）}{x3}$，
令G（x）=e^x-2F（x），则G′（x）=e^x-2F′（x）=e^x-2•$\frac{ex}{x}$=$\frac{ex（x-2）}{x}$
显然，当0＜x＜2时，G′（x）＜0，G（x）单调递减；
当x＞2时，G′（x）＞0，G（x）单调递增；
所以，在（0，+∞）范围内，G（x）在x=2处取得最小值G（2）=0．
即x＞0时，e^x-2F（x）≥0．
故在（0，+∞）内，h′（x）≥0，
所以h（x）在（0，+∞）单调递增，
又因为h（2）=$\frac{f（2）}{8}$=$\frac{e2}{8}$＞$\frac{7}{8}$，h（2）＜h（e）
所以h（e）＞$\frac{7}{8}$．（14分）

点评 本题主要考查利用导数研究函数的性质，主要是求单调区间问题，属于难题．