Question

20．己知函数f（x）=-$\frac{1}{3}{x^3}+{x^2}$，g（x）=f （x）+f′（x），讨论g（x）的单调性，并求g（x）在区间[1，2]上的最大值与最小值．

Answer 1

分析 求出g（x）的表达式，得到g（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值即可．

解答 解：f（x）=-$\frac{1}{3}{x^3}+{x^2}$，f′（x）=-x²+2x，
∴g（x）=f （x）+f′（x）=-$\frac{1}{3}$x³+2x，
g′（x）=-x²+2，令g′（x）＞0，解得：-$\sqrt{2}$＜x＜$\sqrt{2}$，
令g′（x）＜0，解得：x＞$\sqrt{2}$或x＜-$\sqrt{2}$，
∴g（x）在（-∞，-$\sqrt{2}$），（$\sqrt{2}$，+∞）递减，在（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）递增，
∴g（x）在区间[1，$\sqrt{2}$）递增，在（$\sqrt{2}$，2]上递减，
而g（1）=$\frac{5}{3}$，g（$\sqrt{2}$）=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，g（2）=$\frac{4}{3}$，
故g（x）的最大值是$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，最小值是$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道基础题．