Question

8．已知P是抛物线y²=4x上一动点，则点P到直线l：2x-y+3=0距离的最小值是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• C． 2
• D． $\sqrt{5}$-1

Answer 1

分析 设P（ $\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}$，y₀），利用点到直线的距离公式表示出距离，然后利用二次函数性质即可求得其最小值．

解答 解：由点P在抛物线y²=4x上，设P（ $\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}$，y₀），
利则点P到直线l：2x-y+3=0的距离d=$\frac{|\frac{{{y}_{0}}^{2}}{2}-{y}_{0}+3|}{\sqrt{{2}^{2}+（-1）^{2}}}$=$\frac{|{{y}_{0}}^{2}-2{y}_{0}+6|}{2\sqrt{5}}$=$\frac{（{y}_{0}-1）^{2}+5}{2\sqrt{5}}$≥$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
当y₀=2时d最小值为：$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
所以点P到直线l：x-y+10=0的距离的最小值为$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及点到直线的距离公式，考查二次函数的性质及其最值求解，解决本题关键把距离表示为二次函数，借助二次函数性质解决问题．