Question

3．已知偶函数f（x）（x≠0）的导函数为f′（x），且满足f（1）=0，当x＞0时，xf′（x）＜2f（x），则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-1）∪（0，1）
• B． （-∞，-1）∪（1，+∞）
• C． （-1，0）∪（1，+∞）
• D． （-1，0）∪（0，1）

Answer 1

分析 构造函数设函数$g（x）=\frac{f（x）}{x^2}$，利用导数得到，g（x）在（0，+∞）是减函数，再根据f（x）为偶函数，根据f（1）=0，解得f（x）＞0的解集．

解答 解：根据题意，设函数$g（x）=\frac{f（x）}{x^2}$，
当x＞0时，$g'（x）=\frac{f'（x）•x-2•f（x）}{x^3}＜0$，
所以函数g（x）在（0，+∞）上单调递减，
又f（x）为偶函数，
所以g（x）为偶函数，
又f（1）=0，所以g（1）=0，
故g（x）在（-1，0）∪（0，1）的函数值大于零，
即f（x）在（-1，0）∪（0，1）的函数值大于零．
故选：D．

点评 本题考查了抽象函数的奇偶性与单调性，考查了构造函数及数形结合的思想．解决本题的关键是能够想到通过构造函数解决．