Question

5．过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F，且倾斜角为$\frac{π}{4}$的直线与抛物线交于A，B两点，若弦AB的垂直平分线经过点（0，2），则p等于$\frac{4}{5}$．

Answer 1

分析 写出AB的点斜式方程，与抛物线方程联立消元，利用根与系数的关系求出AB的中点坐标，利用直线垂直与斜率的关系列方程解出p．

解答 解：F（$\frac{p}{2}$，0），∴直线AB的方程为：y=x-$\frac{p}{2}$．
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2px}\\{y=x-\frac{p}{2}}\end{array}\right.$，消元得：x²-3px+$\frac{{p}^{2}}{4}$=0，
设AB的中点坐标为（x₀，y₀），则x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{3p}{2}$，y₀=x₀-$\frac{p}{2}$=p．
∴AB的垂直平分线经过点（0，2），∴$\frac{{y}_{0}-2}{{x}_{0}}$=-1，即$\frac{p-2}{\frac{3p}{2}}$=-1．
解得p=$\frac{4}{5}$．
故答案为：$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的关系，属于中档题．