Question

19．如图，在平行四边形ABCD中，AB=1，BC=2，∠CBA=$\frac{π}{3}$，ABEF为直角梯形，BE∥AF，∠BAF=$\frac{π}{2}$，BE=2，AF=3，平面ABCD⊥平面ABEF．
（1）求证：AC⊥平面ABEF；
（2）求三棱锥D-AEF的体积．

Answer 1

分析 （1）在△ABC中使用余弦定理解出AC，利用勾股定理的逆定理得出AC⊥AB，根据面面垂直的性质得出AC⊥平面ABEF；
（2）由CD∥AB可得CD∥平面ABEF，于是V_D-AEF=V_C-AEF=$\frac{1}{3}{S}_{△AEF}•AC$．

解答 解：（1）在△ABC中，AB=1，BC=2，$∠CBA=\frac{π}{3}$，
由余弦定理得AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}-2AB•BCcos∠CBA}$=$\sqrt{3}$．
∴AB²+AC²=BC²，∴AC⊥AB．
∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，AC?平面ABCD，
∴AC⊥平面ABEF．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，
∵CD?平面ABEF，AB?平面ABEF，
∴CD∥平面ABEF，
∴V_D-AEF=V_C-AEF=$\frac{1}{3}{S}_{△AEF}•AC$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×AF×AB×AC$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×3×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了面面垂直的性质，线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．