Question

已知函数f（x）=3^x-1的反函数y=f^-1（x），g（x）=log₉（3x+1）
（Ⅰ）求不等式f^-1（x）≤g（x）的解集D；
（Ⅱ）设函数H(x)=g(x)-

1

2

f-1(x)，当x∈D时，求H（x）的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据原函数f（x）的表达式将x、y进行互换，解出用y表示x的式子，从而得出反函数f^-1（x）的表达式，将此表达式代入题中的不等式：f^-1（x）≤g（x），根据对数函数的单调性求出自变量x的取值范围；
（Ⅱ）利用对数的运算法则，将函数H(x)=g(x)-

1

2

f-1(x)转化为y=log9(3-

2

x+1

)的形式，再讨论其内层函数的值域，最后根据对数函数y=log₉x的单调性，得出函数H（x）的值域．

解答：解：（Ⅰ）由原函数，令x=3^y-1，得y=log₃（x+1）
故函数的反函数为y=f^-1（x）=log₃（x+1），
不等式f^-1（x）≤g（x）化为：log₃（x+1）≤log₉（3x+1）
即：log₉（x+1）²≤log₉（3x+1）
所以有0＜（x+1）²≤3x+1且x＞-1
解这个不等式组，得0≤x≤1
∴不等式f^-1（x）≤g（x）的解集D=[0，1]
（Ⅱ）H(x)=g(x)-

1

2

f-1(x)=log₉

3x+1

x+1

=log9(3-

2

x+1

)
因为x∈D，所以真数3-

2

x+1

∈[1，2]
可得H（x）的值域为[log₉1，log₉2]，
∴H（x）的值域是[0，log₉2]

点评：本题考查了反函数、函数的值域以及函数与不等式相综合的问题，属于中档题．第二问不让函数的值域时，要注意分清内函数的值域以及外函数的单调性，方能不出差错．