Question

【题目】已知函数（其中，），记函数的导函数为．

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）是否存在实数，使得对任意正实数恒成立？若存在，求出满足条件的实数；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）的单调减区间为，无递增区间；（2）见解析

【解析】

（I）求得也即的表达式，对求导，由此求得的单调区间.（II）解法一：利用的单调性，求得的零点，由此求得关于的关系式.由于是的导函数，根据的单调性，可求得的最大值，利用这个最大值列不等式，用基本不等式等号成立的条件，求得的值.解法二：对分成或两类，利用求出的的范围比较后求得的值.

（Ⅰ），

∴，∵，，∴恒成立，

∴的单调减区间为，无递增区间；

（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知在上单调递减，所以在上必存在实数根，不妨记，即，可得 （*）

当时，，即，当时，，即，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以，

把（*）式代入可得，

依题意恒成立，又由基本不等式有，当且仅当时等号成立，解得，所以．

代入（*）式得，，所以，又∵，所以解得．

综上所述，存在实数，使得对任意正实数恒成立

解法二：要使对恒成立，

①即时，，解得，所以，

②即时，，解得，所以，

依题意可知，①、②应同时成立，则，又∵，所以解得．