Question

【题目】已知定点、，直线、相交于点，且它们的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线.

（Ⅰ）求曲线的方程；

（Ⅱ）设直线与曲线交于、两点，若直线与斜率之积为，求证：直线过定点，并求定点坐标.

Answer 1

【答案】（1）曲线的方程为 ；（2）直线过定点，定点坐标为.

【解析】试题分析：（Ⅰ）设动点，则 ， ，即，化简即可得结果；（Ⅱ）设的方程为，则联立方程组

，消去得 ，设，根据斜率公式及韦达定理可得解得解得 或，验证当时，直线的方程为.直线过定点.

试题解析：（Ⅰ）设动点，则 ，

，即，

化简得： ，由已知，

故曲线的方程为 .

（Ⅱ）由已知直线斜率为0时，显然不满足条件。

当直线 斜率不为0时，设的方程为，则联立方程组

，消去得 ，

设，则，

直线与斜率分别为 , ，

，

由已知得，化简得，解得 或，

当时，直线的方程为过点A，显然不符合条件，故舍去；

当时，直线的方程为.直线过定点.

综上，直线过定点，定点坐标为.