Question

【题目】斜率为k的直线l经过抛物线y＝x2的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，若线段|AB|的长为8.

(1)求抛物线的焦点F的坐标和准线方程；

(2)求直线的斜率k.

Answer 1

【答案】（1）焦点F的坐标为(0,1)，y＝－1（2）k＝±1

【解析】

（1）结合抛物线性质，计算焦点坐标和准线方程，即可。（2）结合抛物线定义，计算出的值，设出直线l的方程，得到，将直线l方程代入抛物线方程，结合根与系数关系，计算k，即可。

(1)化y＝x2为标准方程x2＝4y，

由此，可知抛物线的焦点F的坐标为(0,1)，准线方程为y＝－1.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由抛物线的定义知|AF|＝y1＋1，|BF|＝y2＋1，

于是|AB|＝y1＋y2＋2，

又|AB|＝8，所以y1＋y2＝6，

由(1)得，抛物线的焦点为(0,1)，

所以直线l的方程为y＝kx＋1，

所以kx1＋1＋kx2＋1＝6，k(x1＋x2)＝4，

由直线l的方程与抛物线方程得kx＋1＝，

即x2－4kx－4＝0，Δ＝16k2＋16>0，所以x1＋x2＝4k，

代入k(x1＋x2)＝4，得k2＝1，k＝±1.