Question

【题目】如图，在四棱锥中，⊥平面，底面为梯形，， ，，，为的中点．

（Ⅰ）证明：∥平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】【试题分析】(I)取的中点,连接通过证明四边形为平行四边形,由此证得,进而证明平面.(II)以为坐标原点建立空间直角坐标系,通过计算平面的法向量与直线的方向向量来计算线面角的正弦值.

【试题解析】

（Ⅰ）证明：设F为PD的中点，连接EF，FA．

因为EF为的中位线，所以EF∥CD，且EF=．

又AB∥CD，AB=2，所以ABEF，故四边形ABEF为平行四边形，所以BE∥AF．

又 AF平面PAD，BE平面PAD，所以BE∥平面PAD

（Ⅱ）解：设G为AB的中点，因为AD=AB，，所以为等边三角形，故DG⊥AB ；因为AB∥CD，所以DG⊥DC；又PD平面ABCD，所以PD，DG，CD两两垂直

以D为坐标原点，为x轴、为轴、为轴建立空间直角坐标系，则，， ，，

设为平面DBE的一个法向量，则 ，即 ，

令，则

又 ，所以，

即直线PB与平面BDE所成角的正弦值为