【题目】【2018广东深圳市高三第一次调研考试】已知函数.
(I)讨论函数的单调性;
(II)当时,关于
的不等式
在
上恒成立,求
的取值范围.
【答案】(I)见解析;(II).
【解析】试题分析:(1)求出的定义域以及导函数
,分四种情况讨论
的范围,分别令
求得
的范围,可得函数
增区间,
求得
的范围,可得函数
的减区间;(2)
,等价于
,讨论
的范围,利用导数研究函数的单调性,分别令求出函数
的最小值,令最小值大于零,可筛选出符合题意的
的取值范围.
试题解析:(1) 的定义域为
.
.
由,
,得
,
.
①当时,
,在
时,
;在
时,
,
所以在
单调递减,
在
单调递增;
②当时,
,在
时,
;在
时,
;在
时,
.所以
在
,
单调递增,
在
单调递减;
③当时,
在
上恒成立,所以
在
单调递增;
④当时,
.在
时,
;在
时,
;在
时,
,所以
在
,
单调递增,
在
单调递减;
(2)当时,
,
,即
.
设,
,只需
,在
上恒成立即可.
因为,
.
又,所以
.
令,得
.
当时,
,在
上
,故
单调递增,
所以恒成立;
当时,
,即
,故
.
故当时,
,当
时,
,此时函数
在
上单调递减.
又,所以在
上
,与题设矛盾.
当时,
,此时函数
在
上单调递减.
又,所以在
上
,与题设矛盾.
综上, .
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【题目】下列命题中,真命题是( )
A. 设,则
为实数的充要条件是
为共轭复数;
B. “直线与曲线C相切”是“直线
与曲线C只有一个公共点”的充分不必要条件;
C. “若两直线,则它们的斜率之积等于
”的逆命题;
D. 是R上的可导函数,“若
是
的极值点,则
”的否命题.
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【题目】已知函数是定义在
上的奇函数,满足
,当
时,有
.
(1)求实数的值;
(2)求函数在区间
上的解析式,并利用定义证明证明其在该区间上的单调性;
(3)解关于的不等式
.
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【题目】学校选派甲、乙、丙、丁、戊5名学生代表学校参加市级“演讲”和“诗词”比赛,下面是他们的一段对话.甲说:“乙参加‘演讲’比赛”;乙说:“丙参加‘诗词’比赛”;丙说“丁参加‘演讲’比赛”;丁说:“戊参加‘诗词’比赛”;戊说:“丁参加‘诗词’比赛”.
已知这5个人中有2人参加“演讲”比赛,有3人参加“诗词”比赛,其中有2人说的不正确,且参加“演讲”的2人中只有1人说的不正确.根据以上信息,可以确定参加“演讲”比赛的学生是
A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 丁和戊 D. 甲和丁
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【题目】德国数学家科拉茨1937年提出一个著名的猜想:任给一个正整数,如果
是偶数,就将它减半(即
);如果
是奇数,则将它乘3加1(即
),不断重复这样的运算,经过有限步后,一定可以得到1.对于科拉茨猜想,目前谁也不能证明,也不能否定.现在请你研究:如果对正整数
(首项)按照上述规则进行变换后的第9项为1(注:1可以多次出现),则
的所有不同值的个数为( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
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【题目】小张经营某一消费品专卖店,已知该消费品的进价为每件40元,该店每月销售量(百件)与销售单价x(元/件)之间的关系用下图的一折线表示,职工每人每月工资为1000元,该店还应交付的其它费用为每月10000元.
(1)把y表示为x的函数;
(2)当销售价为每件50元时,该店正好收支平衡(即利润为零),求该店的职工人数;
(3)若该店只有20名职工,问销售单价定为多少元时,该专卖店可获得最大月利润?(注:利润=收入-支出)
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