如图.在三棱柱ABC-A1B1C1中.侧面ABB1A1.ACC1A1均为正方形.∠BAC=90°.点D是棱B1C1的中点．(Ⅰ)求证:A1D⊥平面BB1C1C,(Ⅱ)求二面角D-A1C-A的余弦值．如图甲.在平面四边形ABCD中.已知∠A=45°.∠C=90°.∠ADC=105°.AB=BD.现将四边形ABCD沿BD折起.使平面ABD⊥平面BDC.设点E.F分� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁，ACC₁A₁均为正方形，∠BAC=90°，点D是棱B₁C₁的中点．
（Ⅰ）求证：A₁D⊥平面BB₁C₁C；（Ⅱ）求二面角D-A₁C-A的余弦值．
（文科）如图甲，在平面四边形ABCD中，已知∠A=45°，∠C=90°，∠ADC=105°，AB=BD，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC（如图乙），设点E、F分别为棱AC、AD的中点．
（Ⅰ）求证：DC⊥平面ABC；
（Ⅱ）设CD=a，求三棱锥A-BFE的体积．

【答案】分析：（Ⅰ）先证明三棱柱是直三棱柱，由CC₁⊥A₁D，A₁D⊥B₁C₁，证得A₁D⊥平面BB₁C₁C．
（Ⅱ）如图所示建立直角坐标系A-xyz，求出二面角的两个面的法向量，求出两个法向量夹角的
余弦值，此余弦值的相反数即为所求．
（文答案）（Ⅰ） AB⊥BD，由面面垂直的性质可得AB⊥底面BDC，故AB⊥CD，又DC⊥BC，DC⊥平面ABC．
（Ⅱ）证得EF⊥平面ABC，可得

，求出三角形AEB的面积和EF的长度，
即可求得结果．
解答：

（Ⅰ）证明：因为侧面ABB₁A₁，ACC₁A₁均为正方形，
所以AA₁⊥AC，AA₁⊥AB，
所以AA₁⊥平面ABC，三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱．
因为A₁D?平面A₁B₁C₁，所以CC₁⊥A₁D，
又因为A₁B₁=A₁C₁，D为B₁C₁中点，所以A₁D⊥B₁C₁．
因为CC₁∩B₁C₁=C₁，所以A₁D⊥平面BB₁C₁C．
（Ⅱ）解：因为侧面ABB₁A₁，ACC₁A₁均为正方形，∠BAC=90°，
所以AB，AC，AA₁两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系A-xyz．
设AB=1，则

，设平面A₁DC的法向量为

，
则有

，

，x=-y=-z，取x=1，得

．
又因为

，AB⊥平面ACC₁A₁，
所以平面ACC₁A₁的法向量为

，因为二面角D-A₁C-A是钝角，
所以，二面角D-A₁C-A的余弦值为

．
（文答案）（Ⅰ）证明：在图甲中∵AB=BD且∠A=45°∴∠ADB=45°，∠ABD=90°，即AB⊥BD．
在图乙中，∵平面ABD⊥平面BDC，且平面ABD∩平面BDC=BD

，∴AB⊥底面BDC，∴AB⊥CD．
又∠DCB=90°，∴DC⊥BC，且AB∩BC=B，∴DC⊥平面ABC．
（Ⅱ）解：∵E、F分别为AC、AD的中点，∴EF∥CD，又由（Ⅰ）知，DC⊥平面ABC，
∴EF⊥平面ABC，∴

．
在图甲中，∵∠ADC=105°，∴∠BDC=60°，∠DBC=30°，
由CD=a得

，

，
∴

，∴

，
∴

．
点评：本题考查证明线线垂直、线面垂直的方法，求棱锥的体积，二面角的大小，直线与平面垂直的判定、性质的应用．

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