Question

给出下列四个命题：
①命题“?x∈R，cos＞0”的否定是“?x∈R，cos≤0”；
②函数f（x）=

ax-1

ax+1

（a＞0且a≠1）在R上单调递减；
③设f（x）是R上的任意函数，则f（x）|f（-x）|是奇函数，f（x）+f（-x）是偶函数；
④定义在R上的函数f（x）对于任意x的都有f（x-2）=-

4

f(x)

，则f（x）为周期函数；
⑤命题p：?x∈R，x-2＞lgx；命题q：?x∈R，x²＞0．则命题p∧（￢q）是真命题；
其中真命题的序号是

 

（把所有真命题的序号都填上）．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：阅读型,函数的性质及应用,简易逻辑

分析：①由含有一个量词的命题的否定形式，即可判断①；
②将f（x）化为f（x）=1-

2

1+ax

，讨论a＞1，0＜a＜1得到函数的单调性，即可判断；
③设F（x）=f（x）|f（-x）|，H（x）=f（x）+f（-x），由奇偶性的定义，即可判断；
④结合条件，两次将x换为x+2，得到f（x+4）=f（x），即可判断④；
⑤可通过取特殊值，判断p，q的真假，再由复合命题的真值表，即可判断．

解答： 解：①命题“?x∈R，cosx＞0”的否定是““?x∈R，cosx≤0”，故①错；
②函数f（x）=

ax-1

ax+1

（a＞0且a≠1）即f（x）=1-

2

1+ax

，当a＞1时，a^x递增，
f（x）递增，当0＜a＜1时，a^x递减，f（x）递减，故②错；
③设f（x）是R上的任意函数，则设F（x）=f（x）|f（-x）|，H（x）=f（x）+f（-x），
则F（-x）=f（-x）|f（x）|，H（-x）=f（-x）+f（x）=H（x），故f（x）|f（-x）|不能判断奇偶性，
f（x）+f（-x）是偶函数，故③错；
④定义在R上的函数f（x）对于任意x的都有f（x-2）=-

4

f(x)

，将x换成x+2，得到f（x）f（x+2）=-4，
则有f（x+2）=f（x-2），再将x换为x+2，得到f（x+4）=f（x），则最小正周期为4，故④对；
⑤命题p：?x∈R，x-2＞lgx，比如x=3，则1＞lg3，p为真，；命题q：?x∈R，x²＞0，
比如x=0，不成立，则q为假，故命题p∧（￢q）是真命题，故⑤对．
故答案为：④⑤

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性和周期性及运用，考查命题的否定和复合命题的真假及真值表，属于较基础题．