Question

5．已知函数f（x）对任意实数x均有f（x）=kf（x+2），其中常数k为负数，且f（x）在区间[0，2]上有表达式f（x）=x（x-2）．
（Ⅰ）求f（-1），f（2.5）的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-3，3]上的表达式；
（Ⅲ）求f（x）在[-3，3]上的最值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用f（-1）=kf（1），由 f（0.5）=k f（2.5），得到f（2.5）=$\frac{1}{k}$f（0.5）=$\frac{1}{k}$（0.5-2）•0.5．
（Ⅱ）条件可得f（x）=$\frac{1}{k}$f（x-2），当-2≤x＜0时，-3≤x＜-2时，分别求出f（x）的解析式，从而得到f（x）在[-3，3]上的表达式，通过表达式研究单调性．
（Ⅲ）由（Ⅱ）中函数f（x）在[-3，3]上的单调性可知，在x=-3或x=1处取最小值，在x=-1或x=3处取最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵在区间[0，2]上有f（x）=x（x-2），∴f（1）=-1．
∵f（x）=kf（x+2），∴f（x+2）=$\frac{f（x）}{k}$，即f（x）=$\frac{1}{k}$f（x-2）．
∴f（2.5）=f（2+0.5）=$\frac{1}{k}$•f（0.5）=$\frac{1}{k}$•（-$\frac{3}{4}$）=-$\frac{3}{4k}$．
（Ⅱ）当-2≤x＜0时，0≤x+2＜2，f（x）=kf（x+2）=kx（x+2）；
当-3≤x＜-2时，1≤x+4＜2，f（x）=kf（x+2）=k² •f（x+4）=（x+4）（x+2）．
当2≤x≤3 时，0≤x-2≤1，f（x-2）=kf（x）=（x-2）（x-4），故f（x）=$\frac{1}{k}$（x-2）（x-4）．
综上可得，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{k}^{2}（x+2）（x+4），-3≤x＜-2}\\{kx（x+2），-2≤x＜0}\\{x（x-2），0≤x＜2}\\{\frac{1}{k}（x-2）（x-4），2≤x≤3}\end{array}\right.$．
（Ⅲ）∵k＜0，∴f（x）在[-3，-1]与[1，3]上为增函数，在[-1，1]上为减函数，
故f（x）在x=-3或x=1处取最小值为  f（-3）=-k²，或f（1）=-1，
而在x=-1或x=3处取最大值为 f（-1）=-k，或f（3）=-$\frac{1}{k}$，
故有：
①k＜-1时，f（x）在x=-3处取最小值f（-3）=-k²，在x=-1处取最大值f（-1）=-k；
②k=-1时，f（x）在x=-3与x=1处取最小值f（-3）=f（1）=-1，在x=-1与x=3处取最大值f（-1）=f（3）=1；
③-1＜k＜0时，f（x）在x=1处取最小值f（1）=-1，在x=3处取最大值f（3）=-$\frac{1}{k}$．

点评 这是一道求函数解析式的问题，本题较为抽象，在区间转化时一定要细心，防止出错，属于难题．