Question

16．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，AC=5，则直三棱柱内切球的表面积的最大值为25（3-3$\sqrt{2}$）π．

Answer 1

分析 棱柱底面三角形的内切圆即为球的大圆，求出直三棱柱内切球的半径的最大值，即可得出结论．

解答 解：设棱柱的内切球的半径为r，则Rt△ABC的内切圆为球的大圆，
设AB=a，BC=b，则a²+b²=25，
由等面积可得$\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}（a+b+5）r$，
∴r=$\frac{ab}{a+b+5}$．
设a=5cosα，b=5sinα，则r=$\frac{25sinαcosα}{5cosα+5sinα+5}$，
设t=cosα+sinα，（|t|≤$\sqrt{2}$），r=$\frac{5}{2}$（t-1），
∴r_max=$\frac{5}{2}$（$\sqrt{2}$-1），
∴直三棱柱内切球的表面积的最大值为25（3-3$\sqrt{2}$）π．
故答案为：25（3-3$\sqrt{2}$）π．

点评 本题考查了棱柱的结构特征，棱柱与内切球的关系，属于中档题．