Question

过正三棱锥的侧棱与底面中心作截面，如果截面是等腰三角形，则侧面与底面所成角的余弦值是（　　）

• A、

  1

  3

• B、

  6

  6

• C、

  3

  2

• D、

  1

  3

  或

  6

  6

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法

专题：综合题,空间角

分析：延长BO交AC于D，则D为AC中点，∠SDB为侧面和底面所成角的平面角．截面△SBD分SD=BD，SB=BD 两种情况求解．

解答： 解：延长BO交AC于D，则D为AC中点．截面为△SBD．
由正棱锥的性质，SO⊥面ABC，SD⊥AC，BD⊥AC，∠SDB为侧面和底面所成角的平面角．设底面边长BC=2．易知SB≠SD．
（1）若SD=BD，则SC=BC，正三棱锥S-ABC为正四面体．
BD=

BC2-CD2

=

3

，
在△SDB中，由余弦定理得cos∠SDB=

3+3-4

2× 3 × 3

=

1

3

．
（2）若SB=BD=

3

，
在RT△SDA中，SD=

SA2-AD2

=

2

，
在△SDB中，由余弦定理得cos∠SDB=

3+2-3

2× 2 × 3

=

6

6

．
故选：D．

点评：本题考查了正棱锥的性质，面面角的计算．考查空间想象能力、计算、推理论证能力．