Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．
（Ⅰ）证明：BE⊥DC；
（Ⅱ）求BE的长；
（Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F-AB-P的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，求出

BE

=（0，1，1），

DC

=（2，0，0），由

BE

•

DC

=0，能证明BE⊥DC．
（Ⅱ）由

BE

=（0，1，1），能求出BE的长．
（Ⅲ）由BF⊥AC，求出

BF

，进而求出平面FBA的法向量和平面ABP的法向量，由此利用向量法能求出二面角F-AB-P的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：∵PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，
∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，
建立空间直角坐标系，
由题意B（1，0，0），P（0，0，2），C（2，2，0），
E（1，1，1），D（0，2，0），

BE

=（0，1，1），

DC

=（2，0，0），
∴

BE

•

DC

=0，∴BE⊥DC．
（Ⅱ）解：∵

BE

=（0，1，1），
∴BE的长为|

BE

|=

0+1+1

=

2

．
（Ⅲ）解：∵

BC

=(1，2，0)，

CP

=(-2，-2，2)，

AC

=（2，2，0），由点F在棱PC上，设

CF

=λ

CP

=（-2λ，-2λ，2λ），0≤λ≤1，
∴

BF

=

BC

+

CF

=（1-2λ，2-2λ，2λ），
∵BF⊥AC，∴

BF

•

AC

=2（1-2λ）+2（2-2λ）=0，解得λ=

3

4

，
设平面FBA的法向量为

n

=(a，b，c)，
则

n • AB =a=0 n • BF =- 1 2 a+ 1 2 b+ 3 2 c=0

，
取c=1，得

n

=（0，-3，1），
取平面ABP的法向量

i

=（0，1，0），
则二面角F-AB-P的平面角满足：
cosα=

| i • n |

| i |•| n |

=

3

10

=

3 10

10

，
∴二面角F-AB-P的余弦值为

3 10

10

．

点评：本题主要考查直线与平面、平面与平面之间的平行、垂直等位置关系，考查线线垂直、二面角的概念、求法等知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力，是中档题．