Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，求二面角A₁-BD₁-C₁的大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法

专题：空间角

分析：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面A₁BD₁的法向量和平面BD₁C₁的法向量，由此利用向量法能求出二面角A₁-BD₁-C₁的大小．

解答： 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，
建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，
则A₁（1，0，1），B（1，1，0），D₁（0，0，1），
C₁（0，1，1），

BD1

=（-1，-1，1），

BA1

=（0，-1，1），

BC1

=（-1，0，-），
设平面A₁BD₁的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • BA1 =-y+z=0 n • BD1 =-x-y+z=0

，取y=1，得

n

=（0，1，1），
设平面BD₁C₁的法向量

m

=（a，b，c），
则

m • BD1 =-a-b+c=0 m • BC1 =-a-c=0

，取a=1，得

m

=（1，-2，-1），
设二面角A₁-BD₁-C₁的平面角为θ，
cosθ=cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

-3

2 × 6

=-

3

2

，
∴θ=150°．
∴二面角A₁-BD₁-C₁的大小为150°．

点评：本题主要考查直线与平面、平面与平面之间的平行、垂直等位置关系，考查二面角的概念、求法等知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力，是中档题．