Question

已知向量

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ），

c

=（-1，O）
（1）求向量

b

+

c

的长度的最大值；
（2）设α=

π

4

，且

a

⊥（

b

+

c

），求cosβ的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,三角函数的求值,平面向量及应用

分析：（1）运用向量的模的公式以及向量的数量积的坐标表示，再由余弦函数的值域即可得到最大值；
（2）运用向量垂直的条件，结合向量的数量积的坐标表示，以及同角的平方关系，即可求得cosβ的值．

解答： 解：（1）由

b

=（cosβ，sinβ），

c

=（-1，O），
则|

b

|=

cos2β+sin2β

=1，|

c

|=1，
即有|

b

+

c

|=

b 2+ c 2+2 b • c

=

1+1-2cosβ

=

2-2cosβ

，
当cosβ=-1时，向量

b

+

c

的长度的最大值为2；
（2）设α=

π

4

，且

a

⊥（

b

+

c

），
则

a

•(

b

+

c

)=0，
即有

a

•

b

+

a

•

c

=0，
即cosαcosβ+sinαsinβ-cosα=0，

2

2

（cosβ+sinβ）=

2

2

，即为sinβ+cosβ=1，
又sin²β+cos²β=1，
可得cosβ=0或1

点评：本题考查向量的数量积的坐标表示和性质，主要考查向量的垂直的条件和模的求法，同时考查同角的平方关系，属于基础题．