Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足：S_n=S_n-1+a_n-1+2ⁿ（n≥2，n∈N），且首项a₁=1
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=

2n

anan+1

，证明：对一切正整数n，有b₁+b₂+…b_n＜1．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得an=Sn-Sn-1=an-1+2n，n≥2，a₁=1，由此利用累加法能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由b_n=

2n

anan+1

=

2n

(2n-1)(2n+1-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

，利用裂项求和法能证明对一切正整数n，有b₁+b₂+…b_n＜1．

解答： （1）解：∵S_n=S_n-1+a_n-1+2ⁿ（n≥2，n∈N），
∴an=Sn-Sn-1=an-1+2n，n≥2，
又∵a₁=1，
∴a_n=a₁+a₂-a₁+a₃-a₂+…+a_n-a_n-1
=1+2+2²+…+2^n-1
=

1-2n

1-2

=2ⁿ-1．
（2）证明：∵b_n=

2n

anan+1

=

2n

(2n-1)(2n+1-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

，
∴b₁+b₂+…b_n=1-

1

3

+

1

3

-

1

7

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1-1

=1-

1

2n+1-1

＜1，
∴对一切正整数n，有b₁+b₂+…b_n＜1．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意累加法和裂项求和法的合理运用．