Question

已知函数f（x）=x•sinx，有下列四个结论：
①函数f（x）的图象关于y轴对称；
②存在常数T＞0，对任意的实数x，恒有f（x+T）=f（x）成立；
③对于任意给定的正数M，都存在实数x₀，使得|f（x₀）|≥M；
④函数f（x）的图象上至少存在三个点，使得该函数在这些点处的切线重合．
其中正确结论的序号是

 

（请把所有正确结论的序号都填上）．

Answer 1

考点：函数的图象

专题：函数的性质及应用

分析：①研究函数的奇偶性，可用偶函数的定义来证明之；
②研究的是函数的周期性，采用举对立面的形式说明其不成立；
③找出一个常数M，都存在实数x₀，使得|f（x₀）|≥M成立即可；
④根据切线的几何意义，先求导，在找到特殊点，求出切线方程即可．

解答： 解：对于①，∵f（-x）=-x•sin（-x）=xsinx=f（x），
∴函数为偶函数，∴函数f（x）的图象关于y轴对称，故①正确；
对于②∵当x=2kπ+

π

2

时，f（x）=x，随着x的增大函数值也在增大，所以不会是周期函数，故②错；
对于③取M=1，当x₀=

π

2

时，|f（

π

2

）|=

π

2

≥1；故③正确；
对于④∵f′（x）=sinx+xcosx，
当x=2kπ+

π

2

，f′（2kπ+

π

2

）=1=k，
f（2kπ+

π

2

）=2kπ+

π

2

∴切线方程为y-2kπ-

π

2

=x-2kπ-

π

2

即切线方程为y=x，
∴函数f（x）的图象上至少存在三个点，使得该函数在这些点处的切线重合，故④正确
（为了让学生更加理解，特画图）
故答案为：①③④

点评：本题考点是函数的单调性判断与证明，函数的奇偶性，函数的中心对称的判断及函数的周期性，涉及到的性质比较多，且都是定义型，本题知识性较强，做题时要注意准确运用相应的知识准确解题．