Question

如图，在直棱柱ABC-A′B′C′中，底面是边长为3的等边三角形，AA′=4，M为AA′的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC′到M的最短路线长为

29

，设这条最短路线与CC′的交点为N．求：
（1）该三棱柱的侧面展开图的对角线长；
（2）PC与NC的长；
（3）三棱锥C-MNP的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,棱柱的结构特征,棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由展开图为矩形，用勾股定理求对角线长．
（2）在侧面展开图中三角形MAP是直角三角形，可以求出线段AP的长度，进而可以求出PC的长度，再由相似比可以求得CN的长度．
（3）M到平面PCN的距离d=AP=

3 3

2

，由V_C-MNP=V_M-PCN，利用等积法能求出三棱锥C-MNP的体积．

解答： 解：（1）由已知得直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，
其对角线长为

92+42

=

97

．
（2）如图，将侧面BB₁C₁C绕棱CC₁旋转120°使其与侧成AA₁C₁C在同一平面上，
点P运动到点P₁的位置，连接MP₁，
则MP₁就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC₁到点M的最短路线，
设PC=x，则P₁C=x，在Rt△MAP₁中，
由勾股定理得（3+x）²+2²=29，
解得x=2，∴PC=P₁C=2，
∵

NC

MA

=

P1C

P1A

=

2

5

，∴NC=

4

5

．
（3）∵在直棱柱ABC-A′B′C′中，底面是边长为3的等边三角形，
∴M到平面PCN的距离d=AP=

3 3

2

，
又S_△PCN=

1

2

×PC×NC=

1

2

×2×

4

5

=

4

5

，
∴V_C-MNP=V_M-PCN=

1

3

×AP×S△PCN
=

1

3

×

3 3

2

×

4

5

=

2 3

5

．

点评：本小题主要考查直线与平面的位置关系、棱柱等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力，是中档题．