Question

在实数集R内，我们用“＜”为全体实数排了一个“序”，类似的，我们在向量集上也可以定义一个“序”的关系，记为“?”，定义如下：对于任意两个向量

m1

=（x₁，y₁）•（x₁，y₁∈R），

m2

=（x₂，y₂）•（x₂，y₂∈R），当取仅当“x₁＜x₂“或“x₁=x₂且y₁＜y₂∈R”时，

m1

?

m2

，按上述定义的关系“?”，给出如下四个命题：
①若

m1

?

m2

，则|

m1

|≤|

m2

|；
②若

m1

?

m2

，

m2

?

m3

，则，则

m1

?

m3

；
③若

m1

?

m2

，则对于任意

m

，都有（

m1

+

m

）?（

m2

+

m

）成立；
④对于实数λ≥0，若

m1

?

m2

，则λ

m1

?λ

m2

成立；
其中所有命题的个数为（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：新定义,平面向量及应用

分析：根据已知条件中，对于任意两个向量

m1

=（x₁，y₁）•（x₁，y₁∈R），

m2

=（x₂，y₂）•（x₂，y₂∈R），当取仅当“x₁＜x₂“或“x₁=x₂且y₁＜y₂∈R”时，

m1

?

m2

，按上述定义的关系“?”，判断各个选项是否正确，从而得出结论．

解答： 解：对于任意两个向量

m1

=（x₁，y₁）•（x₁，y₁∈R），

m2

=（x₂，y₂）•（x₂，y₂∈R），当取仅当“x₁＜x₂“或“x₁=x₂且y₁＜y₂∈R”时，

m1

?

m2

，按上述定义的关系“?”．
对于①若

m1

?

m2

，则“x₁＜x₂“或“x₁=x₂且y₁＜y₂∈R”，|

m1

|=

x12+y12

，|

m2

|=

x22+y22

，
不一定有|

m1

|≤|

m2

|，故①不正确；
对于②，设向量

m1

=（x₁，y₁），

m2

=（x₂，y₂），

m3

=（x₃，y₃），若

m1

?

m2

，

m2

?

m3

，
则有“x₁＜x₂”或“x₁=x₂且y₁＜y₂”，“x₂＜x₃”或“x₂=x₃且y₂＜y₃”．
故有“x₁＜x₃”或“x₁=x₃且y₁＜y₃”．故有

m1

?

m3

，故②正确；
对于③，若

m1

?

m2

，则对于任意

m

，设

m

=（x，y），

m1

=（x₁，y₁），

m2

=（x₂，y₂），
由于“x₁＜x₂”或“x₁=x₂且y₁＜y₂”，则“x+x₁＜x+x₂”或“x+x₁=x+x₂且y+y₁＜y+y₂”，
即有（

m1

+

m

）?（

m2

+

m

）成立，故③正确；
对于④，对于实数λ≥0，设向量

m1

=（x₁，y₁），

m2

=（x₂，y₂），若

m1

?

m2

，
则有“x₁＜x₂”或“x₁=x₂且y₁＜y₂”，即有“λx₁≤λx₂”或“λx₁=λx₂且λy₁≤λy₂”，
则λ

m1

?λ

m2

不成立，故④不正确．
综上正确的个数为2．
故选B．

点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了新定义“?”，正确理解新定义“?”的实质，是解答的关键，属于中档题．