Question

为迎接2015年在兰州举行的“中国兰州国际马拉松比赛”，某单位在推介晚会中进行嘉宾现在抽奖活动，抽奖盒中装有大小相同的6个小球，分别印有“兰州马拉松”和“绿色金城行”两种标志，摇匀后，规定参加者每次从盒中同时抽取两个小球（登记后放回并摇匀），若抽到的两个球都印有“兰州马拉松”标志即可获奖．并停止取球；否则继续，但每位嘉宾最多抽取3次，已知从盒中抽取两个小球不都是“绿色金城行”标志的概率为

4

5

．
（Ⅰ）求盒中印有“兰州马拉松”标志的小球的个数；
（Ⅱ）若用η表示这位嘉宾抽取的次数，求η的分布列和期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）设印有“绿色金城行”的球有n个，同时抽两球不都是“绿色金城行”标志为事件A，由对立事件的概率：P（A）=1-P(

.

A

)=

4

5

，即P（

.

A

）=

C 2 n

C 2 6

=

1

5

，由此能求出n．
（Ⅱ）由已知，两种球各三个，η可能取值分别为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出η的分布列和期望．

解答： 解：（Ⅰ）设印有“绿色金城行”的球有n个，
同时抽两球不都是“绿色金城行”标志为事件A，
则同时抽取两球都是“绿色金城行”标志的概率是P（

.

A

）=

C 2 n

C 2 6

，
由对立事件的概率：P（A）=1-P(

.

A

)=

4

5

，
即P（

.

A

）=

C 2 n

C 2 6

=

1

5

，解得n=3．…（6分）
（Ⅱ）由已知，两种球各三个，η可能取值分别为1，2，3，
P（η=1）=

C 2 3

C 2 6

=

1

5

，
P（η=2）=

C 2 3

C 2 6

•

C 2 3

C 2 6

+

C 1 3 C 1 3

C 2 6

•

C 2 3

C 2 6

=

4

25

，
P（η=3）=1-P（η=1）-P（η=2）=

16

25

，
则η 的分布列为：

η	1	2	3
P	1 5	4 25	16 25

所以Eη=1×

1

5

+2×

4

25

+3×

16

25

=

61

25

．…（12分）

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要注意排列组合知识的合理运用．