Question

已知△ABC是边长为2的正三角形，以AC为直径作半圆O（如图），P为半圆上任一点，则

BC

•

BP

的最大值为

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：如图所示，建立直角坐标系．取BC的中点D（1，0），A（1，

3

），O(

3

2

，

3

2

)，作⊙O的垂直于x轴的切线MN，切点为M(

5

2

，

3

2

)．设P（x，y），则

3

2

≤x≤

5

2

．可得

BC

•

BP

=2x．即可得出．

解答： 解：如图所示，
建立直角坐标系．
取BC的中点D（1，0），A（1，

3

），O(

3

2

，

3

2

)，作⊙O的垂直于x轴的切线MN，切点为M(

5

2

，

3

2

)．
设P（x，y），则

3

2

≤x≤

5

2

．
则

BC

•

BP

=（2，0）•（x，y）=2x≤2×

5

2

=5．
故答案为：5．

点评：本题考查了向量的数量积运算性质、直角三角形的边角关系、圆的性质，考查了变形能力与计算能力，属于中档题．