Question

如图（1），在边长为2的正方形ABCD中，E是边AB的中点．将△ADE沿DE折起使得平面ADE⊥平面BCDE，如图（2），F是折叠后AC的中点．

（Ⅰ）求证：BF∥平面ADE；
（Ⅱ）求二面角E-AB-D的平面角的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ） 取AD中点G，连结EG，FG，由已知得四边形EBFG是平行四边形，从而BF∥EG，由此能证明EG∥平面ADE．
（Ⅱ） 以E为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求出平面EAB的法向量和平面ABD的法向量，由此能求出二面角E-AB-D的平面角的余弦值．

解答： 解：（Ⅰ） 证明：取AD中点G，连结EG，FG，
∵F为AC中点，∴FG

∥ .

.

1

2

CD，BE

∥ .

.

1

2

CD，
∴FG

∥ .

.

BE，
∴四边形EBFG是平行四边形…（3分）
∴BF∥EG，又BF?平面ADE，EG?平面ADE，
∴BF∥平面ADE．…（7分）
（Ⅱ） 如图示以E为坐标原点，
建立空间直角坐标系
则由已知得A(-

1

5

，

2

5

，

2

5

)，
B（1，0，0），D（-1，2，0）
设平面EAB的法向量为

n1

=(x1，y1，z1)
则

n1 • EA =0 n1 • EB =0

⇒

- 1 5 x1+ 2 5 y1+ 2 5 z1=0 x1=0

解得一个法向量为

n1

=(0，

5

，-1)…（10分）
设平面ABD的法向量为

n2

=(x2，y2，z2)
则

n2 • BA =0 n2 • BD =0

⇒

- 6 5 x2+ 2 5 y2+ 2 5 z2=0 -2x2+2y2=0

解得一个法向量为

n2

=(

5

，

5

，2)…（13分）
∵cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

21

14

，
∴二面角E-AB-D的平面角的余弦值

21

14

．…（15分）

点评：本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．