Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AA₁=8，AC=AB=5，BC=6，点A₁在底面ABC的射影是线段BC的中点O，在侧棱AA₁上存在一点E，且OE⊥B₁C．
（1）求证：OE⊥面BB₁C₁C；
（2）求平面A₁B₁C与平面B₁C₁C所成锐二面角的余弦值的大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知得A₁O⊥面ABC，从而A₁O⊥BC，由等腰三角形性质得BC⊥AO，从而EO⊥BC，又OE⊥B₁C，由此能证明OE⊥面BB₁C₁C．
（2）由勾股定理得AO=4，A1O=4

3

，分别以OC、OA、OA₁为x、y、z轴建立空间坐标系，求出面A₁B₁C的法向量和面C₁B₁C的法向量，由此能求出平面A₁B₁C与平面B₁C₁C所成锐二面角的余弦值．

解答： 解：（1）证明：∵点A₁在底面ABC的射影是线段BC的中点O，∴A₁O⊥面ABC，
而BC?面ABC，∴A₁O⊥BC，…（1分）
又∵AC=AB=5，线段BC的中点O，∴BC⊥AO，∵A₁O∩AO=O，…（3分）
∴BC⊥面A₁OA，EO?面A₁OA，EO⊥BC，又∵OE⊥B₁C，B₁C∩BC=C，
B₁C?面BB₁C₁C，BC?面BB₁C₁C，∴OE⊥面BB₁C₁C．…（5分）
（2）解：由（1）知，在△AOB中，AO²+BO²=AB²，则AO=4，
在△A₁AO中，A1A2=AO2+A1O2，则A1O=4

3

分别以OC、OA、OA₁为x、y、z轴建立空间坐标系，
C（3，0，0），A₁（0，0，4

3

），
A（0，4，0），B（-3，0，0），∵

AB

⊥

A1B1

，
∴B₁（-3，-4，4

3

），∵

AA1

=

CC1

，
∴C₁（3，-4，4

3

），

CA1

=（-3，0，4

3

），

CB1

=（-6，-4，4

3

），

CC1

=（0，-4，4

3

），
设面A₁B₁C的法向量

m

=（x，y，z），

m • CA1 =0 m • CB1 =0

，
取

m

=（1，-

3

4

，

3

4

），…（8分）
设面C₁B₁C的法向量

n

=（x，y，z），

n • CB1 =0 n • CC1 =0

，
取

n

=（0，

3

，1），…（9分）
cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=-

21

14

，…（11分）
所以平面A₁B₁C与平面B₁C₁C所成锐二面角的余弦值为

21

14

．…（12分）

点评：本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养和向量法的合理运用．