Question

已知函数f（x）=ln（1+x）-ln（1-x），x∈（-1，1）．判断命题|f（x）|≥2|x|是否正确．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质,对数的运算性质

专题：函数的性质及应用

分析：根据题意，构造函数g（x）=f（x）-2x，利用函数的导数与奇偶性，判断g（x）=f（x）-2x≥0，是否成立，从而判断|f（x）|≥2|x|是否成立．

解答： 解：∵函数f（x）=ln（1+x）-ln（1-x），x∈（-1，1）；
∴当x∈[0，1）时，|f（x）|≥2|x|?f（x）-2x≥0，
令g（x）=f（x）-2x=ln（1+x）-ln（1-x）-2x，x∈[0，1）；
∵g′（x）=

1

1+x

+

1

1-x

-2=

2x2

1-x2

≥0，
∴g（x）在[0，1）上单调递增，
∴g（x）=f（x）-2x≥g（0）=0，
∴f（x）≥2x；
又∵f（x）与y=2x为奇函数，
∴|f（x）|≥2|x|在x∈（-1，1）上成立，
即|f（x）|≥2|x|是正确的．

点评：本题考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题，也考查了不等式的应用问题，是综合性题目．