Question

在空间直角坐标系O-xyz中，坐标原点为O，P点坐标为（x，y，z）．
（Ⅰ）若点P在x轴上，且坐标满足|2x-5|≤3，求点P到原点O的距离的最小值；
（Ⅱ）若点P到坐标原点O的距离为2

3

，求x+y+z的最大值．

Answer 1

考点：二维形式的柯西不等式,绝对值不等式的解法

专题：综合题,推理和证明,不等式

分析：（Ⅰ）利用绝对值不等式，求出x的范围，即可求点P到原点O的距离的最小值；
（Ⅱ）点P到坐标原点O的距离为2

3

，故x²+y²+z²=12，由柯西不等式，得（x²+y²+z²）（1²+1²+1²）≥（x+y+z）²，即可求x+y+z的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由点P在x轴上，所以P（x，0，0），
又坐标满足|2x-5|≤3，所以-3≤2x-5≤3，…（2分）
解得1≤x≤4，…（3分）
所以点P到原点O的距离的最小值为1..…（4分）
（Ⅱ）由点P到坐标原点O的距离为2

3

，
故x²+y²+z²=12，…（5分）
由柯西不等式，得（x²+y²+z²）（1²+1²+1²）≥（x+y+z）²，…（6分）
即（x+y+z）²≤36，
所以x+y+z的最大值为6，当且仅当x=y=z=2时取最大．…（7分）

点评：本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想．