Question

已知集合A={x|（x-2）[x-（3a+1）＜0]}，B={x|

x-a

x-(a2+1)

＜0}．
（Ⅰ）当a=2时，求集合A∪B；
（Ⅱ）若B⊆A成立的实数a的取值范围．

Answer 1

考点：集合的包含关系判断及应用,并集及其运算

专题：集合

分析：（I）当a=2时，对于集合A：（x-2）（x-7）＜0，对于集合B：

x-2

x-5

＜0，化为（x-2）（x-5）＜0，利用一元二次不等式的解法解出即可得到A，B，再利用集合的运算即可得出A∪B．
（II）对于集合B：由于a²+1＞a，因此

x-a

x-(a2+1)

＜0化为（x-a）[x-（a²+1）]＜0，解得B=（a，a²+1）．对于集合A：对a分类讨论，当a=

1

3

时，化为（x-2）²＜0，此时A=∅；当a＞

1

3

时，集合A化为2＜x＜3a+1；当a＜

1

3

时，集合A化为3a+1＜x＜2，再利用B⊆A成立，即可解出．

解答： 解：（I）当a=2时，对于集合A：（x-2）（x-7）＜0，解得2＜x＜7．∴A=（2，7）．
对于集合B：

x-2

x-5

＜0，化为（x-2）（x-5）＜0，解得2＜x＜5．∴B=（2，5）．
∴集合A∪B=（2，7）；
（II）对于集合B：∵a²+1-a=(a-

1

2

)2+

3

4

＞0，∴a²+1＞a，因此

x-a

x-(a2+1)

＜0化为（x-a）[x-（a²+1）]＜0，解得a＜x＜a²+1，
∴B=（a，a²+1）．
对于集合A：当a=

1

3

时，化为（x-2）²＜0，此时A=∅，B⊆A不成立，舍去；
当a＞

1

3

时，3a+1＞2，集合A化为2＜x＜3a+1，∵B⊆A成立，∴

a≥2 a2+1≤3a+1 a＞ 1 3

，解得2≤a≤3，因此2≤a≤3．
当a＜

1

3

时，3a+1＜2，集合A化为3a+1＜x＜2，∵B⊆A成立，∴

a＜ 1 3 3a+1≤a a2+1≤2

，解得-1≤a≤-

1

2

，因此-1≤a≤-

1

2

．
综上可得：实数a的取值范围是-1≤a≤-

1

2

或2≤a≤3．

点评：本题考查了一元二次不等式的解法、分式不等式的解法、集合之间的关系，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．