Question

已知函数f（x）=|2x+1|-|x|-2
（Ⅰ）解不等式f（x）≥0
（Ⅱ）若存在实数x，使得f（x）≤|x|+a，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）化简函数的解析式，分类讨论，求得不等式的解集．
（Ⅱ）不等式即|x+

1

2

|-|x|≤

a

2

+1①，由题意可得，不等式①有解．根据绝对值的意义可得|x+

1

2

|-|x|∈[-

1

2

，

1

2

]，故有

a

2

+1≥-

1

2

，由此求得a的范围．

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）=|2x+1|-|x|-2=

-x-3，x＜- 1 2 3x-1，- 1 2 ≤x＜0 x-1，x≥0

，
当x＜-

1

2

时，由-x-3≥0，可得x≤-3．
当-

1

2

≤x＜0时，由3x-1≥0，求得 x∈∅．
当x≥0时，由x-1≥0，求得 x≥1．
综上可得，不等式的解集为{x|x≤-3 或x≥1}．
（Ⅱ）f（x）≤|x|+a，即|x+

1

2

|-|x|≤

a

2

+1①，由题意可得，不等式①有解．
由于|x+

1

2

|-|x|表示数轴上的x对应点到-

1

2

对应点的距离减去它到原点的距离，故|x+

1

2

|-|x|∈[-

1

2

，

1

2

]，
故有

a

2

+1≥-

1

2

，求得a≥-3．

点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的能成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．