Question

已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=

2

，向量

m

=（-1，1），

n

=（cosBcosC，sinBsinC-

2

2

），且

m

⊥

n

．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）当sinB+cos（

7π

12

-C）取得最大值时，求B和b．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值,平面向量及应用

分析：（1）由

m

⊥

n

，可得

m

•

n

=0，化为-cos（B+C）=sinA=

2

2

，又A∈（0，π），可得A=

π

4

或

3π

4

．
（2）sinB+cos(

7π

12

-C)=sinB+cos(B-

π

6

)=

3

sin(B+

π

6

)，当A=

π

4

时，可得B=

π

3

时，sinB+cos(

7π

12

-C)最大，再利用正弦定理

b

sinB

=

a

sinA

，可得b．当A=

3π

4

时，B∈(0，

π

4

)，sinB+cos(

7π

12

-C)无最大值，舍去．

解答： 解：（1）∵

m

⊥

n

，
∴

m

•

n

=-cosBcosC+sinBsinC-

2

2

=0，
∴-cos（B+C）=sinA=

2

2

，
又A∈（0，π），则A=

π

4

或

3π

4

．
（2）sinB+cos(

7π

12

-C)=sinB+cos(B-

π

6

)=

3

sin(B+

π

6

)，
当A=

π

4

时，B∈(0，

3π

4

)，则B=

π

3

时，sinB+cos(

7π

12

-C)最大，
由正弦定理

b

sinB

=

a

sinA

，得b=

3

．
∴B=

π

3

，b=

3

．
当A=

3π

4

时，B∈(0，

π

4

)，sinB+cos(

7π

12

-C)无最大值，舍去．

点评：本题考查了向量垂直与数量积的关系、两角和差的余弦公式、诱导公式、正弦定理、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．