Question

已知

AB

=（6，1），

BC

=（x，y），

CD

=（-2，-3）
（1）若

BC

∥

DA

，求y=f（x）的解析式
（2）在（1）的条件下，若

AC

⊥

BD

，求x与y的值以及四边形ABCD的面积．

Answer 1

考点：平面向量共线（平行）的坐标表示,正弦定理

专题：平面向量及应用

分析：（1）根据题意，由

BC

∥

DA

，列出方程，求出x与y的关系式即可；
（2）根据

AC

⊥

BD

，列出方程，由（1）的方程组成方程组，求出解来，计算出四边形ABCD的面积．

解答： 解：（1）∵

AB

=（6，1），

BC

=（x，y），

CD

=（-2，-3），
∴

AD

=

AB

+

BC

+

CD

=（6，1）+（x，y）+（-2，-3）=（x+4，y-2），
∴

DA

=（-x-4，-y+2）；
又∵

BC

∥

DA

，
∴x（-y+2）-y（-x-4）=0，
解得y=-

1

2

x；
（2）∵

AC

=

AB

+

BC

=（x+6，y+1），

BD

=

BC

+

CD

=（x-2，y-3），且

AC

⊥

BD

，
∴（x+6）（x-2）+（y+1）（y-3）=0，
即x²+y²+4x-2y-15=0；
∴

y=- 1 2 x x2+y2+4x-2y-15=0

，
解得

x=-6 y=3

或

x=2 y=-1

；
当x=-6，y=3时，

AC

=（0，4），

BD

=（-8，0），
四边形ABCD的面积为

1

2

|

AC

||

BD

|=

1

2

×4×8=16；
当x=2，y=-1时，

AC

=（8，0），

BD

=（0，-4），
四边形ABCD的面积SABCD=

1

2

|

AC

||

BD

|=

1

2

×8×4=16．

点评：本题考查了平面向量的坐标运算问题，也考查了向量的平行与垂直的应用问题，是综合性题目．