Question

已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是等腰梯形，侧面PAD是正三角形，且CD=DA=AB=1，BC=PB²=PC²=2
（1）求证：PB⊥平面PCD；
（2）求PD与平面PAB所成的角的大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）取BC中点E，连接AE、DE、BD，由已知条件推导出PB⊥PC，PB⊥PD，由此能证明PB⊥平面PCD．
（2）以D为原点，DA为x轴，△CDE的高为y轴，建立空直角坐标系，求出平面PAB的法向量，利用向量法能求出PD与平面PAB所成的角．

解答： （1）证明：取BC中点E，连接AE、DE、BD
∵BC=PB²=PC²=2，
∴PB=PC=

2

，BC²=PB²+PC²，
∴△PBC为等腰直角三角形，∴PB⊥PC，
又∵CD=DA=AB=1，BC=2，AD∥BC，PAD是正三角形
∴AE=DE=BE=CE=PE=AB=AD=CD=PA=PD=1
∴BD=

3

，∴BD²=PB²+PD²，
∴PB⊥PD，又PC∩PD=P，
∴PB⊥平面PCD．
（2）以D为原点，DA为x轴，△CDE的高为y轴，
建立空直角坐标系，设P（a，b，c），
E（

1

2

，

3

2

，0），C(-

1

2

，

3

2

，0)，D（0，0，0），
∵|

PD

|=|

PE

|=1，|

PC

|=

2

，
∴

a2+b2+c2=1 (a- 1 2 )2+(b- 3 2 )2+c2=1 (a+ 1 2 )2+(b- 3 2 )2+c2=2

，
解得a=

1

4

，b=

3

4

，c=

3

2

，∴P（

1

4

，

3

4

，

3

2

），
A（1，0，0），B（

3

2

，

3

，0），

AB

=（

1

2

，

3

，0），

AP

=（-

3

4

，

3

4

，

3

2

），
设平面PAB的法向量

n

=（x，y，z），
则

1 2 x+ 3 y=0 - 3 4 x+ 3 4 y+ 3 2 z=0

，取y=

3

，得

n

=（-6，

3

，-

7 3

2

），
设PD与平面PAB所成的角为θ，
∵

DP

=（

1

4

，

3

4

，

3

2

），
∴sinθ=|cos＜

DP

，

n

＞|=

| DP • n |

| DP |•| n |

=

4 303

101

．
∴PD与平面PAB所成的角为arcsin

4 303

101

．

点评：本题主要考查直线与平面、平面与平面之间的平行、垂直等位置关系，考查线线垂直、二面角的概念、求法等知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力，是中档题．