Question

已知向量

a

=（

3

sinx，cosx），

b

=（cosx，cosx），设函数f（x）=

a

•

b

．
（Ⅰ）求函数f（x）=

a

•

b

的单调增区间；
（Ⅱ）若x∈[-

π

6

，

π

3

]，求函数f（x）=的最值，并指出f（x）取得最值时x的取值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用

专题：平面向量及应用

分析：（I）利用数量积运算、倍角公式、两角和差的正弦公式可得函数f（x）=sin(2x+

π

6

)+

1

2

．由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，即可解得单调递增区间．
（Ⅱ）当x∈[-

π

6

，

π

3

]时，-

π

6

≤2x+

π

6

≤

5π

6

，解得-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1，即可得出最值．

解答： 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=

a

•

b

=

3

sinxcosx+cos²x=

3

2

sin2x+

1+cos2x

2

=sin(2x+

π

6

)+

1

2

．
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
解得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z时，
∴函数f（x）的单调递增区间是[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，（k∈Z）；
（Ⅱ）当x∈[-

π

6

，

π

3

]时，-

π

6

≤2x+

π

6

≤

5π

6

，∴-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1，
∴当sin(2x+

π

6

)=-

1

2

时，原函数取得最小值0，此时x=-

π

6

，
当sin(2x+

π

6

)=1时，原函数取得最大值

3

2

，此时x=

π

6．

点评：本题考查了向量的数量积运算、倍角公式、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．