Question

四棱锥P-ABCD中，ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥面ABCD，PA=3，AD=2，AB=2

3

，BC=6．
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）求二面角P-BD-A大小；
（3）求二面角B-PC-A大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）建立空间坐标系，利用向量的数量积，我们可以证明BD⊥AP，BD⊥AC，利用线面垂直的判定定理，我们可证BD⊥平面PAC．
（2）分别求出平面PBD的法向量和平面ABD的法向量，由此利用向量法能求出二面角P-BD-A大小．
（3）分别求出平面PCA的法向量和平面PBC的法向量，由此能求出二面角B-PC-A大小．

解答： （1）证明：如图，以A为原点，AB为x轴，
AD为y轴，AP为z轴，建立坐标系，
则A（0，0，0），B（2

3

，0，0），
C（2

3

，6，0），D（0，2，0），P（0，0，3）
∴

AP

=（0，0，3），

BD

=（-2

3

，2，0），

AC

=（2

3

，6，0）
∴

AP

•

BD

=0，

AC

•

BD

=-12+12=0，
∴BD⊥AP，BD⊥AC，又PA∩AC=A
∴BD⊥平面PAC．
（2）解：

PB

=（-2

3

，0，3），

PD

=（0，-2，3），
设平面PBD的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • PB =-2 3 x+3z=0 n • PD =-2y+3z=0

，取x=

3

，得

n

=（

3

，3，2），
又平面ABD的法向量

m

=（0，0，1），
设二面角P-BD-A的平面角为θ，
则cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=|

2

16

|=

1

2

，
二面角P-BD-A大小为

π

3

．
（3）解：

AP

=（0，0，3），

AC

=（2

3

，6，0），
设平面PCA的法向量

p

=（a，b，c），
则

p • AP =3c=0 p • AC =2 3 a+6b=0

，取a=

3

，得

p

=（

3

，-1，0），

PB

=（-2

3

，0，3），

PC

=（2

3

，6，-3），
设平面PBC的法向量

q

=（x₁，y₁，z₁），
则

q • PB =-2 3 x1+3z1=0 q • PC =2 3 x1+6y1-3z1=0

，取x1=

3

，得

q

=（

3

，0，2），
设二面角B-PC-A的平面角为α，
则cosα=|cos＜

p

，

q

＞|=|

p • q

| p |•| q |

|=|

3

2 7

|=

3 7

14

，
∴二面角B-PC-A大小为arccos

3 7

14

．

点评：本题主要考查直线与平面、平面与平面之间的平行、垂直等位置关系，考查线面垂直、二面角的概念、求法等知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力，是中档题．