Question

已知函数f（x）=2cosx（sinx-cosx）+1．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小周期和单调增区间．
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且锐角A满足f（A）=1，b=

2

，c=3，求a值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（Ⅰ）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=

2

sin（2x-

π

4

），由周期公式可得T，由2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z可解得函数f（x）的单调增区间．
（Ⅱ）由锐角A满足f（A）=1，则有

2

sin（2A-

π

4

）=1，可解得A，由余弦定理可得a的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=2cosx（sinx-cosx）+1=2sinxcosx-2cos²x+1=

2

sin（2x-

π

4

），
∴由周期公式可得：T=

2π

2

=π，
∴由2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z可解得：kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

，k∈Z，
∴函数f（x）的单调增区间是：[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]，k∈Z．
（Ⅱ）∵锐角A满足f（A）=1，则有

2

sin（2A-

π

4

）=1，
∴可解得：2A-

π

4

=2kπ+

π

4

，k∈Z，从而解得：A=

π

4

．
∴由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA=2+9-3

6

=11-3

6

．
∴a=

11-3 6

．

点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，考查了余弦定理的应用，属于基本知识的考查．