Question

证明：
（1）当x∈R时，1+2x⁴≥2x³+x²
（2）当a，b∈R⁺时，a^ab^b≥（ab） 

a+b

2

．

Answer 1

考点：二维形式的柯西不等式

专题：证明题,不等式的解法及应用,推理和证明

分析：（1）将所证的不等式作差后化积，通过判断符号即可证得结论成立．
（2）利用相除法，再根据指数函数的性质即可得出结论．

解答： 证明：（1）∵x为实数，
∴1+2x⁴-x²-2x³=2x³（x-1）-（x-1）（x+1）
=（x-1）（2x³-x-1）
=（x-1）[（x-1）（2x²+2x+1）]
=（x-1）²[2（x+0.5）²+0.5]≥0，
∴1+2x⁴≥x²+2x³．
（2）设y=a^ab^b÷（ab） 

a+b

2

=(

a

b

)

a-b

2

，
当a＞b时，

a

b

＞1，

a-b

2

＞0，据指数函数的性质可知y＞1，即a^ab^b≥（ab） 

a+b

2

．
当a＜b时，0＜

a

b

＜1，

a-b

2

＜0，根据指数函数的性质可知y＞1，即a^ab^b≥（ab） 

a+b

2

．
综上所述，a^ab^b≥（ab） 

a+b

2

．

点评：本题考查不等式的证明，着重考查作差（商）法的应用，作差后化积是关键，考查运算能力，属于中档题．