Question

在△ABC中，角A，B，C分别对应边a，b，c，已知a，b，c成等比数列，且cosB=

3

4

．
（1）若

BA

•

BC

=

3

2

，求a+c的值；  
（2）求

1

tanA

+

1

tanC

的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,余弦定理

专题：计算题,等差数列与等比数列,三角函数的求值,解三角形,平面向量及应用

分析：（1）运用向量的数量积的定义和等比数列的性质，可得b²=ac=2，再由余弦定理，计算即可得到a+c=3；
（2）由同角的平方关系和等比数列的性质，结合正弦定理，可得sin²B=sinAsinC，再由切化弦和两角和的正弦公式，计算即可得到．

解答： 解：（1）由

BA

•

BC

=

3

2

，得accosB=

3

2

，
因cosB=

3

4

，则ac=2，
由a，b，c成等比数列，则b²=ac=2，
由余弦定理b²=a²+c²-2accosB，得
a²+c²=b²+2accosB=5，
于是（a+c）²=a²+c²+2ac=5+4=9，
故a+c=3；
（2）由cosB=

3

4

得sinB=

1- 9 16

=

7

4

，
由b²=ac得sin²B=sinAsinC，
则

1

tanA

+

1

tanC

=

cosA

sinA

+

cosC

sinC

=

cosAsinC+sinAcosC

sinAsinC

=

sin(A+C)

sinAsinC

=

sinB

sin2B

=

1

sinB

=

4 7

7

．

点评：本题考查向量的数量积的定义和等比数列的性质，主要考查正弦定理和余弦定理的运用，以及三角函数的恒等变换，掌握同角公式和两角和的正弦公式是解题的关键．