Question

已知向量

a

=（2cosx，2sinx），

b

=（

3

sinx，-sinx），

c

=（-1，

3

），其中x∈R．
（Ⅰ）当

a

⊥

b

时，求x值的集合；
（Ⅱ）当x∈[0，π]时，求|

a

-

c

|的最大值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用

专题：平面向量及应用

分析：（Ⅰ）由

a

⊥

b

，可得

a

•

b

=0，化为sin(2x+

π

6

)=

1

2

，即可得出；
（II）利用数量积性质与正弦函数的单调性即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）∵

a

⊥

b

，
∴

a

•

b

=2

3

sinxcosx-2sin²x=

3

sin2x-(1-cos2x)=2sin(2x+

π

6

)-1=0，
∴sin(2x+

π

6

)=

1

2

，
由2x+

π

6

=

π

6

+2kπ或2x+

π

6

=π-

π

6

+2kπ（k∈Z），
∴x值的集合为{x|x=kπ或x=

π

3

+kπ，k∈Z}．
（Ⅱ）|

a

-

c

|=

(2cosx+1)2+(2sinx- 3 )2

=

4cos2x+4sin2x+4cosx+4-4 3 sinx

=

8-8sin(x- π 6 )

，
∵x∈[0，π]，
∴(x-

π

6

)∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴当x-

π

6

=-

π

6

，即x=0时，|

a

-

c

|有最大值为

8-8×(- 1 2 )

=2

3

．

点评：本题考查了向量的数量积运算性质、正弦函数的单调性、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．