Question

已知数列{a_n}，{b_n}满足：b_n=a_n+1-a_n（n∈N^*）．
（1）若a₁=1，b_n=n，求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n+1b_n-1=b_n（n≥2），且b₁=1，b₂=2，记c_n=a_6n-1（n≥1）求证：数列{c_n}为等差数列．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）利用叠加可得，a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=a₁+b₁+b₂+…+b_n-1，可求a_n，
（2）由b_n+1b_n-1=b_n（n≥2），证明数列{b_n}是周期为6的周期数列，且数列{b_n}一个周期内的和为7．利用等差数列的定义即可得到结论．

解答： 解：（1）∵b_n=a_n+1-a_n（n∈N^*）．
∴当n≥2时，有a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=a₁+b₁+b₂+…+b_n-1
=1+1+2+3+…+（n-1）=1+

(n-1)(1+n-1)

2

=

n2-n+2

2

，
又a₁=1也满足上式，故数列{a_n}的通项为a_n=

n2-n+2

2

．
（2）∵b_n+1b_n-1=b_n（n≥2），
∴对任意的n∈N^*有bn+6=

bn+5

bn+4

=

1

bn+3

=

bn+1

bn+2

=b_n，
即数列{b_n}各项的值重复出现，周期为6．
又数列{b_n}的前6项分别为1，2，2，1，

1

2

，

1

2

，且这六个数的和为7．
∵c_n=a_6n-1（n≥1），
∴c_n+1-c_n=a_6n+5-a_6n-1=a₁+b₁+b₂+…+b_6n+5-（a₁+b₁+b₂+…+b_6n-1）=b_6n+b_6n+1+b_6n+2+b_6n+3+b_6n+4+b_6n+5=7（n≥1）
故数列{a_6n-1}为以7为公差的等差数列．

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式以及数列的周期性的综合应用，判断数列是周期数列是解决本题的关键．试题的综合性较强，有一定的难度．